Mirza (Monty Hall Problemi)
Mirza bir yarışmaya katılıyor. Birinde 1 TL, birinde 1.000 TL, birinde de 1.000.000 TL olan üç kutu var. Yarışmanın kuralına göre, Mirza özgürce herhangi bir kutuyu seçecek ve geri kalan iki kutudan içinde daha az ödül olanı, sunucu çıkaracak;
sonra yarışmacı ister kendi seçtiği kutuyu isterse de diğerini seçecek.
Mirza sarı kutuyu seçiyor ve geriye mavi ve kırmızı kutular kalıyor.
Sunucu kırmızı kutuyu çıkarıyor. Geriye sarı ve mavi renkli iki kutu kalıyor.
1.000.000 TL'nin sarı kutuda olma ihtimali nedir? [Zorluk: 8]
Cevap: 1/3
Çözüm 1:
1. Durum
|
2. DURUM
|
3. DURUM
|
|
Sarı Kutu
|
1 TL
|
1.000 TL
|
1.000.000 TL
|
Mavi Kutu
|
1.000.000 TL
|
1.000.000 TL
|
1.000 TL
|
Kırmızı Kutu
|
1.000 TL
|
1 TL
|
1 TL
|
Yukarıdaki tabloda olabilecek tüm durumlar gösterilmiştir.
Bu 3 durumdan sadece birinde sarı kutuda 1.000.000 TL
olduğuna göre cevap 1/3'tür.
Sunucu, kalanlardan küçük olanı çıkaracağına göre,
1 TL'nin mavi kutuda, 1.000.000 TL'nin de kırmızı kutuda olma ihtimali yoktur.
Sarı kutuda 1 TL varsa, kırmızı kutuda 1.000 TL;
1.000 TL varsa, 1 TL;
1.000.000 TL varsa, 1 TL
olmak zorundadır; çünkü sunucu, içinde küçük ödül olanı çıkarıyor. Tablo bu mantıkla hazırlanmıştır.
Tüm ihtimaller şu şekildedir:
Sarı kutuda 1 TL olma ihtimali = (1/3)
Sarı kutuda 1.000 TL olma ihtimali = (1/3)
Sarı kutuda 1.000.000 TL olma ihtimali = (1/3)
Mavi kutuda 1 TL olma ihtimali = 0
Mavi kutuda 1.000 TL olma ihtimali = (1/3)
Mavi kutuda 1.000.000 TL olma ihtimali = (2/3)
Kırmızı kutuda 1 TL olma ihtimali = (2/3)
Kırmızı kutuda 1.000 TL olma ihtimali = (1/3)
Kırmızı kutuda 1.000.000 TL olma ihtimali = 0
ayrıca,
1 TL'nin mavi kutuda olma ihtimali = 0
1 TL'nin sarı kutuda olma ihtimali = (1/3)
1 TL'nin kırmızı kutuda olma ihtimali = (2/3)
1.000 TL'nin sarı kutuda olma ihtimali = (1/3)
1.000 TL'nin mavi kutuda olma ihtimali = (1/3)
1.000 TL'nin kırmızı kutuda olma ihtimali = (1/3)
1.000.000 TL'nin kırmızı kutuda olma ihtimali = 0
1.000.000 TL'nin sarı kutuda olma ihtimali = (1/3)
1.000.000 TL'nin mavi kutuda olma ihtimali = (2/3)
Çözüm 2:
Burada püf nokta şudur:
Yarışmacı ilk başta yanlış kutuyu seçmişse,
kutuyu değiştirdiği zaman büyük ödülü kazanır.
Yarışmacının ilk başta büyük ödül olmayan kutuyu seçme ihtimali 2/3'tür. Bu durumda kutu değiştirirse büyük ödülü kazanır.
Yani yarışmacı seçtiği kutuyu değiştirirse büyük ödülü kazanma ihtimali 2/3'tür. Çünkü 2/3 ihtimalle, ilk başta yanlış kutuyu seçmiştir.
Açıklama:
Sarı kutuda tüm ödüllerin olma şansı eşittir, Çünkü en başta rastgele seçiliyor.
Farzımuhal, sarı kutuda 1.000.000 TL olma ihtimalini (1/2) kabul etsek;
1.000 TL olma ihtimali de (1/2), 1 TL olma ihtimali de (1/2) olmalı.
Bu durumda toplam ihtimal (3/2) eder.
Halbuki bir kutuda olabilecek ihtimaller toplamı her zaman 1'dir.
Orijinal "Monty Hall Problemi" ile bu soru farklıdır.
Fark, yukarıdaki soru metninde koyu yazılan kısımdan kaynaklanmaktadır.
Fakat cevap aynıdır. Çözümün kolay anlaşılması için soru bu şekle dönüştürülmüştür.
Cevabın neden 1/2 değil de 1/3 olduğunu anlayamayanların çoğu, iki soru arasındaki farkı da anlayamaz.