Eylül ile Veli yazı tura oynuyor. İlk farklı atan kazanacak.
İlk başlayanın kazanma ihtimali nedir? [Zorluk: 8]
Cevap: 1/3
Çözüm: İlk atan Eylül olsun.
Birinci yol:
1. atışta Eylül kazanamaz zaten.
2. atış: Veli'nin Eylül'den farklı atma ihtimali de 1/2 Eylül'le aynı atma ihtimali de 1/2. Farklı atarsa kazanır, aynı atarsa sıra Eylül'e geçer.
3. atış: Eylül'ün kazanması için Veli, Eylül ile aynı atmalı ve Eylül farklı atmalı. [(1/2) x (1/2) = (1/4)]
Aynı atarsa sıra Veli'ye geçer.
4. atışta Veli'nin kazanması için ikinci ve üçüncü atışlar aynı gelmeli, Veli farklı atmalı. [(1/2) x (1/2) x (1/2) = (1/8)]
...
...
1. atışta Eylül'ün kaznma ihtimali = 0
2. atışta Veli'nin kazanma ihtimali = (1/2) = (1/2)
3. atışta Eylül'ün kazanma ihtimali = (1/2) (1/2) = (1/4)
4. atışta Veli'nin kazanma ihtimali = (1/2) (1/2) (1/2) = (1/8)
5. atışta Eylül'ün kazanma ihtimali = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/16)
6. atışta Veli'nin kazanma ihtimali = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/32)
7. atışta Eylül'ün kazanma ihtimali = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/64)
...
...
Görüldüğü gibi Veli'nin herhangi bir basamaktaki kazanma ihtimali, Eylül'ün ondan sonraki basamakta kazanma ihtimalinin iki katı. Bu durumda Veli'nin kazanma ihtimali 2P ise Eylül'ün kazanma ihtimali P olur.
2P + P = 1 ise P = 1/3
İkinci yol:
İlk atanın tüm basamaklardaki kazanma ihtimallerinin toplamı P olsun. Yukarıdaki anlatılanlara göre:
P = (1/4) + (1/16) + (1/64) + (1/256) + ...
P = (1/4)^1 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + (1/4)^4 + ... + (1/4)^¥
(1/4) P = (1/4)^2 + (1/4)^3 + (1/4)^4 + (1/4)^5 + ... + (1/4)^¥
Son ikisini taraf tarafa çıkarırsak:
(3/4) P = (1/4) ise P = (1/3)